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Cómo calcular el área de un polígono sin medir nada

by Justo Fernández | 4 feb, 2015 | Secundaria | 0 comments
Parece una temeridad la pregunta que te acabo de formular, pero pronto comprobarás que es cierto lo que propongo; eso sí, bajo unas determinadas condiciones.

Antes de seguir leyendo, ¿se te ocurre algo para calcular el área de este polígono? ¿Qué nos hace falta, qué necesitamos tener?

área de un polígono 1


Matemáticas para pensar
Este es el objetivo principal al enseñar matemáticas, hacer pensar al alumno. Plantearse preguntas es una de las mejores maneras de aprender. La otra es jugando, ¡hay que jugar con las matemáticas!
La verdad es que hacen falta varias cosas. Necesitamos un papel cuadriculado y que los vértices de nuestro polígono coincidan con las esquinas de los cuadrados, es decir, que tengan coordenadas enteras. Esto nos puede valer.



área de un polígono 2
¿Puedes calcular el área ahora? Considera que el lado de los cuadrados vale 1. ¿Nos puede servir partiéndolo en triángulos? Todavía no parece nada fácil, ¿verdad?
Voy a dibujarte lo último que debes tener en cuenta. Los puntos que están dentro del área del polígono y los vértices.

área de un polígono 3
Mosquis! ¿Para qué me sirve saber esto? Para calcular el área de cualquier polígono cerrado (sin agujeros).
Cuentas el número de puntos que hay dentro del polígono → X
Cuentas el número de puntos situados en el borde → Y
Entonces el área, medida en unidades de cuadrícula siempre será:
\mathbf{A= X + \frac{Y}{2}-1}
Ahora si que puedes comprobar que el área del polígono anterior es de 5,5 unidades.
\mathbf{A= 3 + \frac{7}{2}-1=5'5}
Practicando se aprende
Ahora te toca a ti. Puedes practicar con los siguientes dibujos. Recuerda que el lado del cuadrado vale uno ¿Cúal de los dos tiene mayor área?
área de un polígono 4

“Caballo”
área de un polígono 5

“Fantasma”


Lo que acabo de contarte, se fundamenta en el teorema de Pick. Se trata de una curiosidad geométrica sorprendente. Como acabas de ver, de forma muy sencilla puedes calcular el área de un determinado polígono que cumpla ciertas condiciones.
Georg Pick
Esta verdad eterna se la debemos al matemático austriaco Georg Alexander Pick, que la demostró en 1899, a las puertas del siglo XX. Fue después de su muerte, cuando esta joya atrajo la atención y admiración de los matemáticos por su simplicidad y elegancia.
El teorema se puede demostrar por inducción matemática. También hay una generalización para calcular el área de un polígono con agujeros. Si quieres profundizar en el tema, puedes ver la fuente.
Con este pequeño artículo solo pretendía hacerte ver la importancia de razonar y hacerte preguntas cuando estudies matemáticas. No te centres en hacer cálculos repetitivos. En un próximo artículo de tu blog de matemáticas, hablaré sobre la importancia de la resolución de problemas.
Espero que te haya gustado. Por cierto, ¿qué dibujo es mas grande?
Te agradezco mucho que compartas en tus redes sociales.

Fuente 1 Imagen 6
GRACIAS por compartir ;-)

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Soy licenciado en Químicas y profesor de secundaria de Matemáticas (actualmente interino). Tengo vocación docente y una gran implicación con mis alumnos. Padre de tres niñas. Apasionado de las matemáticas, el ajedrez y el ciclismo ... y bético.
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